雲彩飛舞

「飛矢不動」的吊詭
古代的希臘是研究哲學的人聚集的地方，在云云的哲學學派之中，其中一派主張
「存在是靜止的，不變的，永恒的，變化與運動只是幻覺。」至於這個主張的理
念，不是我們的討論範圍，不過，這個學派的學者之一──芝諾，為了論證運動
是幻象，提出了「飛矢不動」的「理論」：箭在每一瞬間都要佔據一定的空間位
置，即箭在每一瞬間存在，即箭在每一瞬間都是靜止的，又怎可能動呢？

數學——打破吊詭的武器
當然我們完全明白「飛矢不動」是一個歪論，但數學是一個講究嚴謹的學科，數
學家們要從問題的核心「動」作為開始，要證明「飛矢必動」。所謂動是指有速
率，而速率便是所走的路程和所用的時間的比，換句話說，要證明箭在每一瞬間
都是動即，要證明箭在每一瞬間都有速率，但這是一個難題，因為如何找出每一
瞬間的速率呢？

無堅不摧──微積分
要解決每一瞬間的速率（以下稱瞬時速度）的問題，偉大的數學家和物理學家─
─牛頓（Newton），發現了一件無堅不摧的武器──微積分，其中微分便正好
可以計算出物體的瞬時速度。這個發現震驚了整個數學界和物理學界，而且除了
瞬時速度，微積分更在不同方面有廣泛的應用，並得到了瞬速的發展。不過，好
境不常…

既不是零又不是非零？
因為微積分必須要考慮所謂「無窮小量」的問題，所謂「無窮小量」是指一個「
非零而又極接近零的量」，而所謂「極接近零」是指這個量「與零之間不容許有
任何空間和距離」，換句話說，「無窮小量」是一個既不是零又不是非零的量，
那麼，「無窮小量」是零嗎？如果解不到這個問題，所謂無堅不摧的微積分，便
無立足之地，一切由微積分所得出來的完美的數學和物理學上的結果也付諸流水
，所以數學史上稱之為「第二次數學危機」。

化危為機
數學是講究嚴謹的學科，數學家必不逃避問題，面對困難，接受挑戰，是數學家
的不朽格言。另一位偉大的數學家柯西（Cauchy），重新建立微積分學的基礎
──數學分析。數學分析是透過一套嚴格的「數學語言──ε-語言」來說明甚
麼是變量、無窮小和極限等的概念和定義，解決了甚麼是既不是零又不是非零的
問題，而這次的危機亦安然渡過，並為數學的大家庭增添了一位成員「數學分析
」，也提醒了數學家們要繼續要求嚴格，不可鬆懈。